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温度で分子の平均運動エネルギーを表す（分子の平均運動エネルギーの導出）

なぜ分子の平均運動エネルギーを求める（＝温度で表す）必要があるのか

分子の平均運動エネルギーは分子の化学的な状態（分子の結合の割合や反応の早さなど）を求めるのに必要である。

それを、「温度」（温度計で測れる）という測定しやすい情報から求めるため。

大まかな導出の流れ

分子一個一個の運動に着目し、それらの力を足し合わせて壁にかかる圧力を求める。
圧力の式に分子の平均運動エネルギーの式（＝(1/2)mv²）を代入し、分子の平均運動エネルギーを導出（＝温度で表す）する。

とりあえず分子一個一個の並進運動により壁にかかる圧力を表してみる

壁での、分子一個による運動量変化（質量重さ/時間）　ー時間あたりに直す→　壁にかかる力(質量重さ/(時間)²)

であるから、まずは壁での分子一個の運動量変化について考える。

f:id:saltiga:20191104205600j:plain — 運動量変化は、衝突前（ux）と衝突後（-ux）の差をとって、-ux-ux=2uxになる。

上の図で壁の面積あたりの運動量変化は $-2mu_x/S$

ある一片の壁にぶつかる頻度は $u_x/2l$

したがって、ある一片の壁が単位時間あたりに受ける圧力は上二つをかけて、 $P = -(m/V) {u_x}^{2}$ (V=S*l)

全ての分子について足し合わせると $u_x$ の平均を[u_a]とおくと、y,z 方向についても同様の議論ができるので、 ${u_x}^2 = {u_a}^{2}/3$

したがって

$P = -(m/V){N}_{A} {u_a}^{2}/3$

分子の平均運動エネルギーを温度で表す

ここで $e = (1/2)mu^{2}$ より、

分子の平均運動エネルギーeを代入して

$e = (3/2)PV/{N}_{A}$

となる。

ここで、T以外の変数を消去するために。

$PV_m=RT$

より、 $e = (3/2)RT/{N}_{A}$

である。ここでボルツマン定数 $k = R/N_A$ を導入する。

ボルツマン定数とは、「分子一個あたりの気体定数（ $PV = nRT$ のR）」である。

したがって単位は $R=(PV=力*距離＝仕事)/(nT=温度)$ と同じで $J/K$ である。

したがって分子の平均運動エネルギーはボルツマン定数を用い、

$e = (3/2)kT$

と表される。

ちなみに、エネルギー等分配則より、

各自由度（x,y,z)あたりの平均運動エネルギーは(1/2)ktとなる。